Question

18．如图所示，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA₁=2A₁B₁=2．
（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅱ）求直线DD₁与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA₁，由此能证明AM⊥平面AA₁B₁B
（Ⅱ）分别以AB，AM，AA₁为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出直线DD₁与平面A₁BD所成角θ的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连结AC，
∴△ACD为等边三角形，
又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，
由CD∥AB得，∴AM⊥AB，
∵AA₁⊥底面ABCD，AM?底面ABCD，∴AM⊥AA₁，
又∵AB∩AA₁=A，∴AM⊥平面AA₁B₁B
解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA₁=2A₁B₁=2，
∴DM=1，$AM=\sqrt{3}$，∠AMD=∠BAM=90°，
又∵AA₁⊥底面ABCD，
分别以AB，AM，AA₁为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A₁（0，0，2）、B（2，0，0）、$D（{-1，\sqrt{3}，0}）$、${D_1}（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2}）$，
∴$\overrightarrow{D{D_1}}=（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2}）$，$\overrightarrow{BD}=（{-3，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（{2，0，-2}）$，
设平面A₁BD的一个法向量$\vec n=（{x，y，z}）$，
则有$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{BD}=0\\ \vec n•\overrightarrow{{A_1}B}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-3x+\sqrt{3}y=0\\ 2x-2z=0\end{array}\right.⇒y=\sqrt{3}x=\sqrt{3}z$，令x=1，则$\vec n=（{1，\sqrt{3}，1}）$，
∴直线DD₁与平面A₁BD所成角θ的正弦值：
$sinθ=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{D{D_1}}＞}|=|{\frac{{\vec n•\overrightarrow{D{D_1}}}}{{|{\vec n}|•|{\overrightarrow{D{D_1}}}|}}}|=\frac{1}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．