Question

17．已知双曲线Γ₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的离心率为e，直线MN过F₂与双曲线交于M，N两点，若cos∠F₁MN=cos∠F₁F₂M，$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{1}N|}$=e，则双曲线Γ₁的两条渐近线的倾斜角分别为（　　）

• A． 30°或150°
• B． 45°或135°
• C． 60°或120°
• D． 15°或165°

Answer 1

分析 用a，b，c表示出MF₁，MF₂，NF₁，NF₂，利用余弦定理计算cos∠F₁F₂M和cos∠F₁F₂N，由∠F₁F₂M+∠F₁F₂N=0计算出离心率e₁，得出a和b的关系即可得出答案．

解答 解：∵cos∠F₁MN=cos∠F₁F₂M，
∴∠F₁MN=∠F₁F₂M，
∴|MF₁|=|F₁F₂|=2c，
由双曲线的定义可得|MF₂|=|MF₁|-2a=2c-2a，
∵椭圆Γ₂：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的离心率为e=$\frac{\sqrt{8-6}}{\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{|{F}_{1}M|}{|{F}_{1}N|}$=$\frac{1}{2}$，∴|NF₁|=4c，|NF₂|=4c-2a，
在△MF₁F₂中，由余弦定理的
cos∠F₁F₂M=$\frac{4{c}^{2}+（2c-2a）^{2}-4{c}^{2}}{2×2c×（2c-2a）}$=$\frac{c-a}{2c}$，
在△NF₁F₂中，由余弦定理的cos∠F₁F₂N=$\frac{4{c}^{2}+（4c-2a）^{2}-16{c}^{2}}{2×2c×（4c-2a）}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4ac}{2c（2c-a）}$，
∵∠F₁F₂M+∠F₁F₂N=π，
∴cos∠F₁F₂M+cos∠F₁F₂N=0，即$\frac{c-a}{2c}$+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4ac}{2c（2c-a）}$=0，
整理得2a²+3c²-7ac=0，设双曲线的离心率为e₁，
∴3e₁²-7e₁+2=0，解得e₁=2或$\frac{1}{3}$（舍）．
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，∴3a²=b²，即$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
∴渐近线的倾斜角为60°和120°．
故选C．

点评 本题考查了双曲线的定义，离心率计算，余弦定理，属于中档题．