Question

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增加的，又f（3）=0，则不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集为（　　）

• A、（-3，0）∪（3，+∞）
• B、（-3，0）∪（0，3）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件容易判断函数f（x）在（-∞，0）内是增加的，并且可得到f（-3）=f（3）=0，f（-x）=-f（x）．所以由原不等式得

f(x)＞f(-3) x＜0

或

f(x)＜f(3) x＞0

，根据f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上的单调性即可求出这两个不等式组的解．

解答： 解：由已知条件知f（x）在（-∞，0）上是增函数，f（-x）=-f（x），f（3）=f（-3）=0；
∴由原不等式得

2f(x)

x

＜0，所以：

f(x)＞0=f(-3) x＜0

  （1），或

f(x)＜0=f(3) x＞0

  （2）；
∵f（x）在（0，+∞）和（-∞，0）上都是增函数；
∴解不等式（1）（2）得-3＜x＜0或0＜x＜3；
∴原不等式的解集为（-3，0）∪（0，3）．
故选B．

点评：考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性的关系，以及根据函数单调性解不等式的方法．