Question

20．已知函数f（x）=lnx，函数g（x）=$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）证明：函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅱ）用反证法证明：f（x）=2的解是唯一的．

Answer 1

分析 （I）根据增函数的定义进行证明；
（II）假设f（x）=2有不同的解x₁，x₂，根据对数的运算性质即可得出x₁=x₂，故假设错误，原结论成立．

解答 证明：（I）F（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则F（x₁）-F（x₂）=lnx₁-lnx₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）在（0，+∞）上是增函数．
（II）假设f（x）=2有两个不同的解x₁，x₂，则f（x₁）=f（x₂）=2，
即lnx₁=lnx₂=2，∴lnx₁-lnx₂=0，即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=1，即x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾．
∴f（x）=2的解是唯一的．

点评 本题考查了函数增减性的判断，反证法证明，属于基础题．