Question

（x²-x+1）¹⁰展开式中x³项的系数为

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：先把三项式写成二项式，求得二项式展开式的通项公式，再求一次二项式的展开式的通项公式，令x的幂指数等于3，求得r、m的值，即可求得x³项的系数．

解答： 解：（x²-x+1）¹⁰=[1+（x²-x）]¹⁰ 的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 10

（x²-x）^r．
对于（x²-x）^r，通项公式为T_m+1=

C

m r

•x^2r-2m．（-x）^m，
令2r-2m+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得

r=2 m=1

，或

r=3 m=3

．
∴（x²-x+1）¹⁰展开式中x³项的系数为

C

2 10

C

1 2

•（-1）+

C

3 10

C

3 3

•（-1）³=-90-120=-210．
故答案为：-210．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．