Question

2．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{{（\frac{1}{2}）}^x}+4，}&{x＜-1}\\{a{x^2}+4x，}&{x≥-1}\end{array}}\right.$（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＜12；
（Ⅱ）若总存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=3-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式可化为$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+4＜12}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{{x^2}+4x＜12}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）总存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=3-a成立，即函数g（x）=ax²+4x+a-3在[-1，1]上有零点．（1）当g（-1）g（1）≤0时，g（x）在[-1，1]上总有零点，（2）当g（-1）g（1）＞0时，分为以下两种其中情况$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$或 $\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＜0}\\{g（1）＜0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化为$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{{{（\frac{1}{2}）}^x}+4＜12}\end{array}}\right.$或   $\left\{{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{{x^2}+4x＜12}\end{array}}\right.$，
解得-3＜x＜-1或-1≤x＜2，
所以原不等式的解集是{x|-3＜x＜2}．
（Ⅱ）总存在x₀∈[-1，1]，使得f（x₀）=3-a成立，即函数g（x）=ax²+4x+a-3在[-1，1]上有零点．
（1）当g（-1）g（1）≤0时，g（x）在[-1，1]上总有零点，
所以（2a-7）（2a+1）≤0，即$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{7}{2}$，
（2）当g（-1）g（1）＞0时，分为以下两种其中情况$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（1）＞0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$或   $\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）＜0}\\{g（1）＜0}\\{△≥0}\\{-1＜-\frac{4}{2a}＜1}\end{array}}\right.$，
解得$\frac{7}{2}＜a≤4$或∅．
综上，实数a的取值范围是$[-\frac{1}{2}，4]$．

点评 本题考查了二次函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．