Question

1．如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且PA=AC，点E为PC的中点．
（1）求证：△PBC是直角三角形；
（2）求证：AE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）根据底面是圆，得到BC⊥AC，再根据PA⊥平面ABC得到PA⊥BC，即可证明BC⊥平面PAC，从而可证BC⊥PC，即可得证．
（2）由（1）可证BC⊥AE，由PA=AC，点E为PC的中点，可证PC⊥AE，即可得证AE⊥平面PBC．

解答 证明：（1）∵PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面，
∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴AC⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形．
（2）∵由（1）可得BC⊥平面PAC．
又∵AE在平面PAC内，
∴BC⊥AE．
∵PA=AC，点E为PC的中点
∴PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC．

点评 本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力，属于中档题．