Question

9．在等比数列{a_n}中，
（1）若S_n=189，q=2，a_n=96，求a₁和n；
（2）若a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，求a₄和S₅；
（3）若q=2，S₄=1，求S₈．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用等比数列前n项和公式和通项公式，列出方程组，由此能求出首项与项数n．
（2）由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a₄和S₅．
（3）利用等比数列前n项和公式求出首项，由此能求出S₈．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}中，S_n=189，q=2，a_n=96，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}=189}\\{{a}_{1}×{2}^{n-1}=96}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，n=6．
（2）∵等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{5}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{4}={a}_{1}{q}^{3}=8×\frac{1}{8}$=1，
S₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$=$\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}$=16（1-$\frac{1}{32}$）=$\frac{31}{2}$．
（3）∵在等比数列{a_n}中，q=2，S₄=1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{4}）}{1-2}=1$，解得${a}_{1}=\frac{1}{15}$，
∴S₈=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{15}（1-{2}^{8}）}{1-2}$=17．

点评 本题考查等差数列的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的性质的合理运用．