Question

5．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点为F，右顶点为A，过F且与x轴垂直的直线交双曲线于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用双曲线的对称性及直角三角形，可得|AF|=|BF|，求出|AF|，|BF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．

解答 解：∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC为直角
∵双曲线关于x轴对称，且直线BC垂直x轴
∴|AF|=|BF|
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）
∴|BF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$
∴|AF|=a+c
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0
∵e＞1，
∴e=2
故选D．

点评 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率，属于中档题．