Question

设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.

（1）求，，的值；

（2）求函数的最大值；

（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）在切点处的的函数值 ，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.

（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.

（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；

二是令，利用导数确定，

转化得到．

令，证明．

（1）因为， 1分

所以 ，又因为切线的斜率为，所以 2分

，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分

4分

（2）由（1）知，，所以

令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分

当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分

当>时，，故在（，+上单调递减； 7分

在（0，+上的最大值=== 8分

（3）证法1：要证对任意的都有只需证

由（2）知在上有最大值，= ，故只需证 9分

，即 ① 11分

令，则，①即 ② 13分

令，则

显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，

所以，即对任意的 ②恒成立，

所以对任意的都有 14分

证法2：令，则． 10分

当时，，故在上单调递减；

而当时， ，故在上单调递增．

在上有最小值，．

，即. 12分

令，得，即，所以，即.

由（2）知，，故所证不等式成立． 14分

考点：导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.