Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，并且经过定点P（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）问是否存在直线y=-x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足

OA

•

OB

=

12

5

，若存在求m值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出e=

c

a

=

3

2

且

3

a2

+

1

4b2

=1，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=

12

5

得，x₁x₂+y₁y₂=

12

5

，联立方程组利用根与系数的关系求解即可得出m的值．

解答： 解（Ⅰ）由题意：e=

c

a

=

3

2

且

3

a2

+

1

4b2

=1，又c²=a²-b²
解得：a²=4，b²=1，即：椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1（1）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

x2 4 +y2=1 y=-x+m

⇒x2+4(m-x)2-4=0⇒5x2-8mx+4m2-4=0（*）
所以x1+x2=

8m

5

，x1x2=

4m2-4

5

y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2-m(x1+x2)+x1x2=m2-

8

5

m2+

4m2-4

5

=

m2-4

5

由

OA

•

OB

=

12

5

，
得(x1，y1)•(x2，y2)=

12

5

，x1x2+y1y2=

12

5

，

4m2-4

5

+

m2-4

5

=

12

5

，m=±2
又方程（*）要有两个不等实根，△=(-8m)2-4×5(4m2-4)＞0，-

5

＜m＜

5

所以m=±2．

点评：本题主要考查椭圆方程及性质的应用，考查学生直线与椭圆位置关系的判断及运算求解能力，注意运用根与系数的关系简化运算，属于中档题．