练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    18．已知$\overrightarrow m=（sinx，\frac{1}{2}），\overrightarrow n=（cosx，cos（2x+\frac{π}{6}））$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{3}{2}$
    （1）试求函数f（x）的单调递增区间；
    （2）把函数f（x）的横坐标缩小到原来的一半，再向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x），在锐角△ABC中，△ABC的三角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$g（B）=\frac{3}{2}$，且$\frac{π}{6}＜B$，b=3，求△ABC面积的最大值．

    分析 （1）由条件两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
    （2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦定理以及基本不等式式，求得△ABC面积的最大值．

    解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（sinx，\frac{1}{2}），\overrightarrow n=（cosx，cos（2x+\frac{π}{6}））$，
    ∴$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{3}{2}=（sinx，\frac{1}{2}）•（cosx，cos（2x+\frac{π}{6}））+\frac{3}{2}=sinxcosx+\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$
    =$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（cos2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin2x•$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$．
    令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
    可得f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$
     （2）把函数f（x）的横坐标缩小到原来的一半，可得y=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$的图象，
    再向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数$g（x）=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sin（4x-\frac{π}{3}）$的图象，
    ∵$g（B）=\frac{3}{2}$，∴$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sin（4B-\frac{π}{3}）=\frac{3}{2}$，
    ∴$\frac{1}{2}sin（4B-\frac{π}{3}）=0，4B-\frac{π}{3}=kπ，B=\frac{kπ}{4}+\frac{π}{12}，k∈z$，
    当k=0时，$B=\frac{π}{12}$不合题意；当$k=1，B=\frac{π}{3}$．
    根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥ac，∴ac≤9，
    ${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB≤\frac{1}{2}×9×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，当且仅当a=b时，△ABC面积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

    点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：2016-2017学年新疆库尔勒市高二上学期分班考试数学（理）试卷（解析版） 题型：选择题

    已知x，y满足 则的最值是（ ）

    A.最大值是2，最小值是1 B.最大值是1，最小值是0

    C.最大值是2，最小值是0 D.有最大值无最小值

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    11．实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-2y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，则z=x-y-1的最小值为-2．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    6．2016年1月份，某家电公司为了调查用户对该公司售后服务的满意度，随机调查了10名使用该公司产品的用户，用户通过“10分制”对公司售后服务进行评价．分数不低于9.5分的用户为满意用户，分数低于9分的用户为不满意用户，其它分数的用户为基本满意用户．已知这10名用户的评分分别为：7.6，8.3，8.7，8.9，9.1，9.2，9.3，9.4，9.9，10．
    （Ⅰ）从这10名用户的不满意用户和基本满意用户中各抽取一人，求这两名用户评分之和大于18的概率；
    （Ⅱ）从这10名用户的满意用户和基本满意用户中任意抽取两人，求这两名用户至少有一人为满意用户的概率．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    13．在数列{an}中，a1=1，a2=2，其前n项和为Sn，且{Sn}成等比数列，则a5=54．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    2．△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC成等差数列，且$tanC=2\sqrt{2}$，则$\frac{sinB}{sinA}$等于（　　）
    A．$\frac{10}{9}$B．$\frac{14}{9}$C．$\frac{5}{3}$D．$\frac{3}{2}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    9．如图，在一次自行车越野赛中，甲，乙两名选手所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的图象（全程）分别用实线（O→A→B→C）与虚线（ OD）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x的取值范围是0＜x＜38．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    5．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）
    A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
    B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
    C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
    D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    6．已知数列{an}其通项公式为an=3n2-22n-1，则此数列中最小项为第（　　）项．
    A．2B．3C．4D．5

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案