Question

5．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n（n∈N^*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）

• A． 1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）
• B． 1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）
• C． 1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k²+k+2（k+1）²+（k+1）
• D． 1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）

Answer 1

分析 由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k²+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．

解答 解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n²+n时，
当n=1左边所得的项是1+2；
假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k²+k，
则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），
∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），
∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）²+（k+1）．
故选：D．

点评 本题考查数学归纳法，着重考查理解与观察能力，考查推理证明的能力，属于中档题．