【题目】已知数集具有性质
:对任意的
、
,
与
两数中至少有一个属于
.
(1)分别判断数集与
是否具有性质
,并说明理由;
(2)证明:且
;
(3)证明:当时,
.
【答案】(1)不具有性质
,
具有性质
,理由详见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由定义直接判断集合和
是否具有性质
;
(2)由已知得和
中至少有一个属于
,从而得到
,再由
,得到
,由
具有性质
可知
,由此能证明
;
(3)当时,
,从而
,
,由此能证明
.
(1)由于和
均不属于数集
,所以,数集
不具有性质
.
由于、
、
、
、
、
、
、
、
、
都属于数集
,所以,数集
具有性质
;
(2)数集
具有性质
,
所以,和
中至少有一个属于
,
,所以
,则
,从而
,故
.
,所以,
,故
.
因为,数集具有性质
可知,
.
又因为,
,
,
,
,
.
所以,.
因此,;
(3)由(2)知,,
,即
,
因为,所以,
,则
,由于数集
具有性质
,
.
由,可得
,且
,所以,
,
故,因此,
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
(限定
).
(1)写出曲线的极坐标方程,并求
与
交点的极坐标;
(2)射线与曲线
与
分别交于点
(
异于原点),求
的取值范围.
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【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
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【题目】已知
,若
,且
的图象相邻的对称轴间的距离不小于
.
(1)求的取值范围.
(2)若当取最大值时,
,且在
中,
分别是角
的对边,其面积
,求
周长的最小值.
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【题目】下图为某校数学专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)频率分布直方图,已知80-90分数段的学员数为21人。
(1)求该专业毕业总人数N和90-95分数段内的人数;
(2)现欲将90-95分数段内的n名人分配到几所学校,从中安排2人到甲学校去,若n人中仅有两名男生,求安排结果至少有一名男生的概率.
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【题目】已知函数的图象与
的图象关于
对称,且
,函数
的定义域为
.
(1)求的值;
(2)若函数在
上是单调递增函数,求实数
的取值范围;
(3)若函数的最大值为2,求实数
的值.
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【题目】唐三彩,中国古代陶瓷烧制工艺的珍品,它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点,在中国文化中占有重要的历史地位,在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史,对唐三彩的复制和仿制工艺,至今也有百余年的历史,某陶瓷厂在生产过程中,对仿制的100件工艺品测得其重量(单位: )数据,将数据分组如下表:
(1)在答题卡上完成频率分布表;
(2)以表中的频率作为概率,估计重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少?
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是2.25作为代表.据此,估计这100个数据的平均值.
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【题目】某市甲水厂每天生产万吨的生活用水,其每天固定生产成本为
万元,居民用水的税费价格为每吨
元,该市居民每天用水需求量是在
(单位:万吨)内的随机数,经市场调查,该市每天用水需求量的频率分布直方图如图所示,设
(单位:万吨,
)表示该市一天用水需求量
(单位:万元)表示甲水厂一天销售生活用水的利润(利润=税费收入-固定生产成本),注:当该市用水需求量超过
万吨时,超过的部分居民可以用其他水厂生产的水,甲水厂只收成本厂供应的税费,该市每天用水需求量的概率用频率估计.
(1)求的值,并直接写出
表达式;
(2)求甲水厂每天的利润不少于万元的概率.
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