Question

15．已知函数f（x）=ax²-bx+2，且f（x）＜0的解集为（1，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）解方程组，求出b，c的值，从而求出f（x）的解析式即可；
（2）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）∵ax²-bx+2＜0的解集为（1，2）．
∴1，2是方程ax²-bx+2=0d的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{4a-2b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=3，
∴f（x）=x²-3x+2；
（2）由（1）得：f（x）=x²-3x+2，
对称轴x=$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在[-1，$\frac{3}{2}$）递减，在（$\frac{3}{2}$，3]递增，
3到$\frac{3}{2}$的距离小于$\frac{3}{2}$到-1的距离，
∴f（x）_最小值=f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，f（x）_最大值=f（-1）=6．

点评 本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．