Question

3．已知向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{AB}$在正方形网格中的位置如图所示，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，则λ-μ=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $-\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 可以点A为坐标原点，DA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据条件即可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$的坐标，根据条件及向量坐标的加法及数乘运算即可建立关于λ，μ的方程组，从而求出λ-μ的值．

解答 解：如图，以点A为坐标原点，以DA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则：A（0，0），B（1，2），C（2，-2），D（-2，0）；
∴$\overrightarrow{AC}=（2，-2）$，$\overrightarrow{AB}=（1，2）$，$\overrightarrow{AD}=（-2，0）$；
∴（2，-2）=λ（1，2）+μ（-2，0）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=λ-2μ}\\{-2=2λ}\end{array}\right.$；
解得$λ=-1，μ=-\frac{3}{2}$；
∴$λ-μ=\frac{1}{2}$．
故选A．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及能求平面上点的坐标，向量坐标的加法及数乘运算．