Question

13．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC=AD=2，∠A=60°，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． 6
• B． -6
• C． -3
• D． 2

Answer 1

分析 可画出图形，根据条件即可得到$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}，∠D=120°$，根据向量减法几何意义即可得到$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$，从而由向量的数量积的运算即可得出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如图，根据条件，AB=4，$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{DC}$，∠D=120°；$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=$-2\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=（\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}）•（-2\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}）$
=$-2{\overrightarrow{DC}}^{2}+\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DA}+{\overrightarrow{DA}}^{2}$
=-8-2+4
=-6．
故选B．

点评 考查等腰梯形的定义，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，向量的数量积的运算及计算公式．