Question

2．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示：
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD的中点，求二面角A-BM-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥BD，从而AB⊥面BCD，由此能证明AB⊥CD．
（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD
又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD与平面BCD的交线，
∴AB⊥面BCD，
∵CD?平面BCD，∴AB⊥CD．
解：（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，
BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{BC}=（1，1，0），\overrightarrow{BM}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
面ABM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设平面BMC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
观察知二面角A-BM-C为钝角，
故二面角A-BM-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题上，注意向量法的合理运用．