Question

13．已知三个集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x∈R|x²-ax+a-1=0}，C={x∈R|x²-bx+2=0}，同时满足B?A，C⊆A的实数a、b是否存在？若存在，求出a、b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由集合A，B，C间的包含关系进行求解，即可求得答案，其中应注意运用分类讨论的数学思想．

解答 解：A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，B={x∈R|x²-ax+a-1=0}，C={x∈R|x²-bx+2=0}，
∵x=1是方程x²-ax+a-1=0的解，
∴B≠∅，
而B?A，∴B={1}，可以解得a=2，
由C⊆A，进行分类讨论：
①若C=∅，则△＜0，∴$-2\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$；
②若C={1}或{2}时，△=0，∴b=$±2\sqrt{2}$，此时，C={$\sqrt{2}$}或{-$\sqrt{2}$}，不合题意，故舍去；
③若C={1，2}时，解得b=3，
综上，实数a，b的取值分别为a=2，b=3或-2$\sqrt{2}$＜b＜2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查集合间的包含关系的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．