设函数f(x)的定义域为R.当x＜0时f(x)＞1.且对任意的实数x.y∈R.有f．.判断并证明函数f(x)的单调性,(2)数列{an}满足a1=f(0).且f(an+1)=1f(-2-an)(n∈N*)．①求{an}的通项公式,②当a＞1时.不等式1an+1+1an+2+-+1a2n＞1235(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数恒成立.求x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

f(-2-an)

(n∈N*)．
①求{a_n}的通项公式；
②当a＞1时，不等式

an+1

an+2

+…+

a2n

＞

（log_a+1x-log_ax+1）对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

考点：数列与函数的综合,函数单调性的判断与证明,等差数列的通项公式,数列递推式

专题：压轴题,等差数列与等比数列

分析：（1）令x=-1，y=0，结合f（-1）＞1，可求f（0）；利用单调性的定义，可以证明f（x）在R上是减函数；
（2）①由f（x）单调性，可得a_n+1=a_n+2，故{a_n}等差数列，即可求{a_n}的通项公式；
②求出左边的最小值，可得

＞

(loga+1x-logax+1)，即log_a+1x-log_ax+1＜1，从而可求x的取值范围．

解答： 解：（1）由x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），且x＜0时，f（x）＞1，
令x=-1，y=0，∴f（-1）=f（-1）f（0），
∵f（-1）＞1，
∴f（0）=1；
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
∴f(x)=

f(-x)

∈(0，1)；
∴x∈R时，f（x）＞0，
任取x₁＜x₂，f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）＜f（x₁）；
∴f（x）在R上是减函数．
（2）①a1=f(0)=1，f(an+1)=

f(-2-an)

=f(2+an)，
由f（x）单调性，可得a_n+1=a_n+2，
故{a_n}等差数列，∴a_n=2n-1，
②bn=

an+1

an+2

+…+

a2n

，则bn+1=

an+2

an+3

+…+

a2n+2

，
bn+1-bn=

a2n+1

a2n+2

an+1

4n+1

4n+3

2n+1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，{bn}是递增数列；
当n≥2时，{bn}min=b2=

，
∴

＞

(loga+1x-logax+1)，
即log_a+1x-log_ax+1＜1，
∴log_a+1x＜log_ax，
而a＞1，∴x＞1，
故x的取值范围（1，+∞）．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的定义与通项，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．

练习册系列答案

中学生英语随堂演练及单元要点检测题系列答案

中学单元测试卷系列答案

中领航深度衔接时效卷系列答案

智慧讲堂系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>