如图为椭圆C:的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率,的面积为.若点在椭圆C上,则点称为点M的一个“椭圆”,直线与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭圆”分别为P,Q.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)问是否存在过左焦点的直线,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
(1);(2)直线方程为或.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式,解方程组,得到基本量a和b的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线l过左焦点,所以讨论直线的斜率是否存在,当斜率不存在时,可以直接写出直线方程,令直线与椭圆联立,得到交点坐标,验证以PQ为直径的圆不过坐标原点,当斜率存在时,直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,证明,解出k的值.
(1)由题意,,即,,即 2分
又得:
∴椭圆的标准方程:. 5分
(2)①当直线的斜率不存在时,直线的方程为
联立,解得或,
不妨令,,所以对应的“椭点”坐标,.
而
所以此时以为直径的圆不过坐标原点. 7分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为
消去得,
设,则这两点的“椭点”坐标分别为
由根与系数关系得: 9分
若使得以为直径的圆过坐标原点,则
而,∴
即,即
代入,解得:
所以直线方程为或. 12分
考点:椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点,且点在第一象限.
(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐标;
(2)若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.
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(13分)(2011•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点P(a,b)满足|PF2|=|F1F2|.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆(x+1)2+=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.
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已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当< 时,求实数取值范围.
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设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为A,在x轴负半轴上有一点B,满足三点的圆与直线相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P(m,0),求实数m的取值范围.
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如图,椭圆经过点P(1.),离心率e=,直线l的方程为x=4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为.问:是否存在常数λ,使得?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.
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如图,已知圆,经过椭圆的右焦点F及上顶点B,过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C,D两点,
(1)求椭圆的方程;
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部,求m的取值范围.
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已知椭圆,为坐标原点,椭圆的右准线与轴的交点是.
(1)点在已知椭圆上,动点满足,求动点的轨迹方程;
(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点,求的面积的最大值
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