Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-

1

3

x³的导函数f′（x）＞-1在区间（0，1）上恒成立，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，将不等式恒成立进行转化，构造函数g（x），利用导数求出函数的取值范围即可．

解答： 解：函数的f（x）的导数f′（x）=

a

x+1

-x²，
若f′（x）＞-1在区间（0，1）上恒成立，
则

a

x+1

-x²＞-1在区间（0，1）上恒成立，
即

a

x+1

＞x²-1，
即a＞（x²-1）（x-1）在区间（0，1）上恒成立，
设g（x）=（x²-1）（x-1），
则g′（x）=（x-1）（3x+1），
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）=（x²-1）（x-1）在区间（0，1）为减函数，
则0＜g（x）＜1，
则a≥1，
故答案为：[1，+∞）

点评：本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用参数分离法将不等式恒成立进行转化是解决本题的关键．