Question

设集合A={x|x²-|x+a|+2a＜0，a∈R}，B={x|x＜2}．若A≠∅且A⊆B，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：计算题,集合

分析：构造二次函数f（x）=x²-|x+a|+2a，去绝对值，由A≠∅，考虑函数的图象与x轴有两个交点，根据判别式大于0，求出a的范围，注意讨论a≥

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的情况，根据A⊆B，说明f（x）＜0的解都小于2，从而f（2）≥0，解出a的范围，最后求交集即可．

解答： 解：令f（x）=x²-|x+a|+2a，则
f（x）=

x2-x+a，x≥-a x2+x+3a，x＜-a

，
∵A≠∅，
∴f（x）的图象与x轴有两个交点，
∴当x≥-a时，△₁＞0，
即1-4a＞0，
∴a＜

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，
当a=

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时，f（x）的图象与x轴相切，且开口向上，应舍去，
当a＞

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时，△₁＜0，即x≥-a时的图象与x轴无交点，
x＜-a时，△₂=1-12a＜1-3，即△₂＜0，即此时的图象与x轴也无交点，
∴A≠∅有a＜

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成立，
又∵A⊆B，
∴不等式x²-|x+a|+2a＜0的解均小于2，
即2²-|2+a|+2a≥0，
∴|2+a|≤2（2+a），
若a＜-2，上式显然不成立，
若a≥-2，则上式化为1≤2，成立，
∴上式的解为a≥-2，
从而a的取值范围是[-2，

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）．
故答案为：[-2，

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）．

点评：本题主要考查集合的包含关系及应用，考查空集的概念和带绝对值不等式的解法，掌握基本的去绝对值的方法：符号法，同时考查构造函数的能力．