Question

已知一元二次不等式ax²-2ax+2a-3＜0，求解下列问题：
（1）当a=2时，解此不等式；
（2）若原不等式的解集为∅，求实数a的取值范围；
（3）若原不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,二次函数的性质

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）a=2时，求对应一元二次不等式的解集即可；
（2）当原不等式的解集为∅时，得

a＞0 △=(-2a)2-4a(2a-3)≤0

，求出不等式组的解集即可；
（3）当原不等式的解集为R时，讨论a=0，或

a＜0 △=(-2a)2-4a(2a-3)＜0

满足题意，求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，一元二次不等式为2x²-4x+1＜0，
∵△=（-4）²-4×2×1=8＞0，
且方程2x²-4x+1=0的两个实数根为x₁=1-

2

2

，x₂=1+

2

2

，
∴此不等式的解集为{x|1-

2

2

＜x＜1+

2

2

}；
（2）当原不等式的解集为∅时，
应满足

a＞0 △=(-2a)2-4a(2a-3)≤0

，
解得

a＞0 a≤0，或a≥3

，
∴实数a的取值范围是[3，+∞）；
（3）当原不等式的解集为R时，
有a=0，不等式为-3＜0，满足题意；
或

a＜0 △=(-2a)2-4a(2a-3)＜0

，
解得

a＜0 a＜0，或a＞3

；
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．