Question

已知向量

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），函数f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=2

3

，且f（A）=1，求A和△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：运用向量的数量积的坐标表示和性质及二倍角公式和和差公式，化简f（x）得sin（2x-

π

6

），（1）由周期公式，即可得到周期，（2）先用f（A）=1，求得A，再由余弦定理和基本不等式得到bc≤12，再由面积公式即可得到最大值．

解答： 解：∵

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），
∴f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2=

a

2+

a

•

b

-2=sin²x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

），
（1）函数f（x）的最小正周期

2π

2

=π；
（2）由f（A）=1，得sin（2A-

π

6

）=1，即2A-

π

6

=2kπ+

π

2

，k为整数，
即A=kπ+

π

3

，由于0＜A＜π，则A=

π

3

，
由余弦定理得，12=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc≥2bc-bc，即bc≤12，
则△ABC面积S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×12×

3

2

=3

3

，当且仅当b=c取最大值3

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的化简和周期公式和基本不等式的运用，属于中档题．