Question

20．已知函数f（x）=x²-2x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即为 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2x+2lnx；$f'（x）=2x-2+\frac{2}{x}$
则f（1）=-1，f'（1）=2
所以切线方程为y+1=2（x-1），
即为y=2x-3．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}（x＞0）$
令$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=0$，则2x²-2x+a=0
当△=4-8a≤0，$a≥\frac{1}{2}$时，f'（x）≥0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点；
当△=4-8a＞0且a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点；
由f'（x）=0，得2x²-2x+a=0，则x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
由0＜a＜$\frac{1}{2}$，可得0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，$\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{2x}_{1}+al{nx}_{1}}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，
令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），h′（x）=-1-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$+2lnx，
由0＜x＜$\frac{1}{2}$，则-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＜-1，
又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
即有h（x）＞h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{2}$-ln2，即 $\frac{f（x）}{x}$＞-$\frac{3}{2}$-ln2，
即有实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$-ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．