Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求证：AC⊥PD；
（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的性质定理即可证明；
（2）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．由平行线分线段成比例定理在三角形中的应用，即可得到EF∥AD，EF=$\frac{1}{3}AD$=1．利用已知条件即可得到EF∥BC，EF=BC，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，∴AC⊥PD．
（Ⅱ）线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD．
下面给出证明：
∵AD=3，
∴在△PAD中，分别取PA、PD靠近点P的三等分点E、F，连接EF．
∵$\frac{PE}{PA}=\frac{PF}{PD}=\frac{1}{3}$，∴EF∥AD，EF=$\frac{1}{3}AD$=1．
又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC=EF，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∴BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，
∴BE∥平面PCD．

点评 本题考查了面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．属于中档题