Question

19．直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），直线l与曲线C₁交于A，B两点．
（Ⅰ）求|AB|的长度；
（Ⅱ）若曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}cosα}\\{y=4+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），P为曲线C₂上的任意一点，求△PAB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的正弦公式展开，即可求得曲线C₁的直角坐标系方程，消去t，求得直线l的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得|AB|的长度；
（Ⅱ）同理求得曲线C₂的直角坐标系方程，P到直l的最小距离为$d=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，求得$|{AB}|=\sqrt{6}$，-1≤m≤3，即可求得△PAB的面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）=2sinθ+2cosθ$，ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴x²+y²=2x+2y，
即曲线C₁的直角坐标系方程为（x-1）²+（y-1）²=2…（2分）
直线l的直角坐标系方程为x+y-1=0…（3分）
圆心C₁到直线l的距离为d=$\frac{丨1+1-1丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（4分）
∴$|{AB}|=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$…（5分）
（Ⅱ）曲线C₂的直角坐标系方程为（x-3）²+（y-4）²=2…（6分）
P到直l的最小距离为$d=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，…（8分）
又$|{AB}|=\sqrt{6}$，-1≤m≤3，
∴△PAB的面积的最小值为$2\sqrt{3}$…（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．