Question

12．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a_n}的通项a_n=$\frac{{{f^2}（n）+f（2n）}}{f（2n-1）}$（n∈N₊），则数列{a_n}的前n项和=4n．

Answer 1

分析 函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a_n及其前n项和．

解答 解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，
∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），
∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴f（n）=2ⁿ．
∴数列{a_n}的通项a_n=$\frac{{{f^2}（n）+f（2n）}}{f（2n-1）}$=$\frac{{2}^{2n}+{2}^{2n}}{{2}^{2n-1}}$=4．
∴数列{a_n}的前n项和=4n．
故答案为：4n．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．