Question

已知函数f（x）为（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则f（2014）的值为（　　）

• A、-2
• B、-1
• C、0
• D、1

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）的图象关于直线x=1对称，得f（x）=f（2-x），又f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，则f（x）=-f（x-2），由此可推得函数的周期为4，借助周期性及已知表达式可求得答案．

解答： 解：∵f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（2-x），
又f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，
∴f（x）=-f（x-2），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），即4为f（x）的周期，
∴f（2014）=f（4×503+2）=f（2）=f（0），
又∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
∴f（0）=0，
故f（2014）=0，
故选：C

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、周期性及其应用，考查抽象函数值的求解，属中档题．