Question

已知一个数列的通项公式为f（n），n∈N*，若7f（n）=f（n-1）（n≥2）且f（1）=3，则

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+…+f（n）]等于（　　）

• A、

  7

  2

• B、

  3

  7

• C、-7
• D、-

  7

  2

Answer 1

考点：数列的极限

专题：等差数列与等比数列

分析：由f（1）=3，7f（n）=f（n-1）（n≥2）可知数列{f（n）}为首项为3，公比为

1

7

的等比数列，于是可得其通项公式，继而可得其前n项和的关系式，对此式取极限即可．

解答： 解：∵f（1）=3≠0，7f（n）=f（n-1）（n≥2），∴

f(n)

f(n-1)

=

1

7

．
∴数列{f（n）}为首项为3，公比为

1

7

的等比数列．
∴f（n）=3•（

1

7

）^n-1．
由公比不为1的等比数列的前n项和公式，得
S_n=

3[1-( 1 7 )n]

1- 1 7

=

7

2

[1-(

1

7

)n]．
∴

lim

n→∞

[f(1)+f(2)+…+f(n)]=

lim

n→∞

7

2

[1-(

1

7

)n]=

7

2

．
故选：A．

点评：本题考查数列的极限，考查等比关系的确定及其通项公式、求和公式的综合应用，求得f（1）+f（2）+…+f（n）=

7

2

[1-(

1

7

)n]是关键，属于中档题．