Question

已知a_n+1+a_n=4（

1

2

）ⁿ且a₁=4，n∈N^*，求{a_2n-1}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a₁=4，a_n+2-a_n=-

2

2n

，由此利用累加法得a_2n-1=a₁+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_2n-1-a_2n-3
=4-2（

1

2

+

1

23

+…+

1

22n-3

），由此能求出a_2n-1．

解答： 解：∵a_n+1+a_n=4（

1

2

）ⁿ且a₁=4，n∈N^*，
∴an+2+an+1=4(

1

2

)n+1，
∴a_n+2-a_n=-

2

2n

，
∴a_2n-1=a₁+a₃-a₁+a₅-a₃+…+a_2n-1-a_2n-3
=4-2（

1

2

+

1

23

+…+

1

22n-3

）
=4-2×

1 2 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

=

8

3

+

1

3×4n-2

．
∴a_2n-1=

8

3

+

1

3×4n-2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．