Question

在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足

AP

=（sin²θ）

AO

+（cos²θ）

AC

（θ∈R），则（

PA

+

PB

）•

PC

的最小值是（　　）

• A、1
• B、-1
• C、-2
• D、0

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用

分析：由向量的线性运算法则和sin²θ+cos²θ=1，化简得

OP

=cos²θ•

OC

，所以点P是线段OC上的点，由此可得（

PA

+

PB

）•

PC

=2

PO

•

PC

，则（

PA

+

PB

）•

PC

表示为以|

PO

|=t为自变量的二次函数式，利用二次函数的性质加以计算，可得所求最小值．

解答： 解：∵

AP

=（sin²θ）

AO

+（cos²θ）

AC

（θ∈R），
且sin²θ+cos²θ=1，
∴

AP

=（1-cos²θ）

AO

+（cos²θ）

AC

=

AO

+cos²θ•（

AC

-

AO

），
即

AP

-

AO

=cos²θ•（

AC

-

AO

），
可得

OP

=cos²θ•

OC

，
又∵cos²θ∈[0，1]，∴P在线段OC上，
由于AB边上的中线CO=2，
因此（

PA

+

PB

）•

PC

=2

PO

•

PC

，设|

PO

|=t，t∈[0，2]，
可得（

PA

+

PB

）•

PC

=-2t（2-t）=2t²-4t=2（t-1）²-2，
∴当t=1时，（

PA

+

PB

）•

PC

的最小值等于-2．
故选C．

点评：本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．