Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a＜0）有两个极值点x₁=1，x₂=3，当时，f（x）＜3d²恒成立，则d的取值范围是________．

Answer 1

d或d＜
分析：对f（x）进行求导，根据x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）的两个极值点可知3和1是方程3ax²+2bx+c=0的两根，利用韦达定理建立方程组，解之即可得a，b，c的关系；根据条件f（x）＜3d²恒成立，建立关于d的不等关系，然后利用研究函数的最值即可求出d的取值范围．
解答：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＜0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c（a＜0）
依题意有 3和1是方程3ax²+2bx+c=0的两根．
∴解得 ，∴f（x）=ax³-6ax²+9ax+d．
f′（x）=3ax²-12ax+9a，
f（x）＜3d²恒成立，?ax³-6ax²+9ax+d＜3d²恒成立，?3d²-d＞ax³-6ax²+9ax恒成立，
?3d²-d大于ax³-6ax²+9ax在上的最大值，
∵ax³-6ax²+9ax在上是增函数，在x∈[1，3]上是减函数，
在x∈[3，4]上是减函数，且当x=1和x=4的函数值相等，
∴3d²-d＞a×1³-6a×1²+9a×1，
即3d²-d＞4a，
∴d或d＜．
即为d的取值范围．
点评：考查学生会利用导数研究函数的极值，函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查归与转化思想．属于基础题．