Question

1．①若正实数a，b，c满足a+2b+3c=8，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$的最小值．
②若a，b，c均为正实数，求证：a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$的值至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 ①利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$的最小值．
②假设a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$都小于2，相加可得（a+$\frac{1}{b}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）＜6，再结合基本不等式，引出矛盾，即可得出结论．

解答 ①解：（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$）•$\frac{a+2b+3c}{8}$=1+4+9+2（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）+3（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$）+6（$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$）≥36
当且仅当a=b=c时，等号成立；…（6分）
②证明：假设a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$都小于2，则a+$\frac{1}{b}$＜2，b+$\frac{1}{c}$＜2，c+$\frac{1}{a}$＜2，
∴（a+$\frac{1}{b}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）＜6．
又∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴（a+$\frac{1}{b}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）=（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}{b}$）+（c+$\frac{1}{c}$）≥2+2+2=6．
与（a+$\frac{1}{b}$）+（b+$\frac{1}{c}$）+（c+$\frac{1}{a}$）＜6矛盾．
故a+$\frac{1}{b}$，b+$\frac{1}{c}$，c+$\frac{1}{a}$中至少有一个不小于2．…（12分）

点评 用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．