Question

12．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）＞-x+1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，在（1）的条件下，试判断g（x）在[1，e²]上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$lnx+\frac{a}{x}-1＞-x+1$，（x＞0），得a＞-x²-xlnx+2x，令g（x）=-x²-xlnx+2x，则g′（x）=-2x-lnx+1，g''（x）=-$\frac{2x+1}{x}＜0$，x∈[1，+∞），从而得到g（x）在[1，+∞）上单调递减，由此能求出a的取值范围．
（2）$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{xlnx+a-x}{{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{2x-xlnx-2a}{{x}^{3}}$，由g′（x）=0，得2a=x-xlnx，令h（x）=x-xlnx，则h′（x）=-lnx＜0，x∈[1，e²]，由此推导出g（x）在[1，e²]上不存在极值．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
关于x的不等式f（x）＞-x+1在[1，+∞）上恒成立，
∴$lnx+\frac{a}{x}-1＞-x+1$，（x＞0），
∴$\frac{a}{x}＞-x-lnx+2$，∴a＞-x²-xlnx+2x，
令g（x）=-x²-xlnx+2x，
则g′（x）=-2x-lnx-1+2
=-2x-lnx+1，
g''（x）=-2-$\frac{1}{x}$=-$\frac{2x+1}{x}＜0$，x∈[1，+∞），
∴g′（x）单调递减，又g′（1）=-1，
∴g′（x）＜0，x∈[1，+∞），
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，
g（x）_max=g（1）=1，
∴a＞1，即a的取值范围是[1，+∞）．
（2）$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}+\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$\frac{xlnx+a-x}{{x}^{2}}$，
g′（x）=$\frac{[lnx+1-1]{x}^{2}-2x（xlnx+a-x）}{（{x}^{2}）^{2}}$=$\frac{2x-xlnx-2a}{{x}^{3}}$，
由g′（x）=0，得2x-xlnx-2a=0，即2a=x-xlnx，
令h（x）=x-xlnx，
则h′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，x∈[1，e²]，
∴h（x）在[1，e²]上单调递减，
h（x）∈[-e²，1]，又a＞1，2a＞2，∴2a≠x-xlnx，x∈[1，e²]，
∴g（x）在[1，e²]上不存在极值．

点评 本题考查、实数的取值范围、导数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．