Question

3．过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0交于点P，则|PM|•|PN|的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得M（0，1），N（1，2），且两直线始终垂直，可得|PM|²+|PN|²=|MN|²=2．由基本不等式可得|PM|•|PN|≤$\frac{|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}}{2}$，验证等号成立即可．

解答 解：由题意可知，动直线ax+y-1=0经过定点M（0，1），
动直线x-ay+2a-1=0即 x-1+（-a+2）y=0，经过点定点N（1，2），
∵过定点M的直线ax+y-1=0与过定点N的直线x-ay+2a-1=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴有PM⊥PN，
∴|PM|²+|PN|²=|MN|²=2．
故|PM|•|PN|≤$\frac{|PM{|}^{2}+|PN{|}^{2}}{2}$=1（当且仅当|PM|=|PN|=1时取“=”）
故选D．

点评 本题考查直线过定点问题，涉及基本不等式求最值，属中档题．