Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，M是CC₁中点．
（1）求证：平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁；
（2）过点C作一截面与平面AB₁M平行，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B交AB于P，则P是A₁B的中点，取AB中点D，连结CD、PD、MP，推导出四边形MCDP是平行四边形，从而CD∥MP，求出CD⊥AB，CC₁⊥CD，CD⊥AA₁，从而MP⊥平面A₁ABB₁，由此能证明平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
（2）取AB中点D，BB₁中点N，连结CD、CN、DN，则截面CDN是过点C与平面AB₁M平行的截面．利用面面垂直的判定定理能证明平面CDN∥平面AB₁M．

解答 证明：（1）连结A₁B交AB于P，则P是A₁B的中点，取AB中点D，连结CD、PD、MP，
∵M、D分别是CC₁、AB的中点，
∴DP∥CM，且DP=CM，
∴四边形MCDP是平行四边形，
∴CD∥MP，∵AC=BC，∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CD，
又AA₁∥CC₁，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面A₁ABB₁，∴MP⊥平面A₁ABB₁，
又∵MP?平面AB₁M，
∴平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）取AB中点D，BB₁中点N，
连结CD、CN、DN，则截面CDN是过点C与平面AB₁M平行的截面．
理由如下：
∵D、N分别是AB、BB₁的中点，∴DN∥AB₁，
又在矩形BCC₁B₁中，M是CC₁的中点，
∴B₁N∥CM，B₁N=CM，
∴四边形CMB₁N是平行四边形，∴B₁M∥CN，
∵CN、DN?平面AB₁M，B₁M、AB₁?平面AB₁M，
∴CN∥平面AB₁M，DN∥平面AB₁M，
∵CN∩DN=N，CN、DN?平面CDN，
∴平面CDN∥平面AB₁M．

点评 本题考查面面垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．