Question

7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∠FEG为异面直线AC与BD所成角．

解答 解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，
∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．
设AB=2a，则EG=EF=$\sqrt{2}$a，FG=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴∠FEG=60°，
∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键．