Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且经过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA=DB，求$\frac{AB}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=$\frac{1}{2}$（x₁+4），即丨BF丨=$\frac{1}{2}$（x₂+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$的值．

解答 解：（1）由题意，F（-1，0），由焦点F₂（1，0），且经过P（1，$\frac{3}{2}$），
由丨PF丨+丨PF₂丨=2a，即2a=4，则a=2，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）．
①若k=0时，丨AB丨=2a=4，丨FD丨+丨FO丨=1，
∴$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$=4．
②若k≠0时，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，则x₀=-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，则y₀=k（x₀+1）=$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$．
则AB的垂直平分线方程为y-$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
由丨DA丨=丨DB丨，则点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，
∴D（-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
∴丨DF丨=-$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+1=$\frac{3+3{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由椭圆的左准线的方程为x=-4，离心率为$\frac{1}{2}$，由$\frac{丨AF丨}{{x}_{1}+4}$=$\frac{1}{2}$，得丨AF丨=$\frac{1}{2}$（x₁+4），
同理丨BF丨=$\frac{1}{2}$（x₂+4），
∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）+4=$\frac{12+12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$=4
则综上，得$\frac{丨AB丨}{丨DF丨}$的值为4．

点评 本题考查椭圆方程、韦达定理、向量知识、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．