Question

17．设x₁、x₂、x₃、x₄为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x₁-1|+|x₂-2|+|x₃-3|+|x₄-4|=6，则这样的排列有9个．

Answer 1

分析 利用和值为6，分解为4个非负数的和，最大值为3，最小值为0，列出所有情况即可．

解答 解：x₁、x₂、x₃、x₄为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足|x₁-1|+|x₂-2|+|x₃-3|+|x₄-4|=6，
可得4个数的和为6，共有，0+0+3+3=6；1+1+1+3=6；0+1+2+3=6；1+1+2+2=6；
所有x₁、x₂、x₃、x₄分别为：
0+0+3+3=6；类型有：
4，2，3，1；
1+1+1+3=6；类型有：
2，3，4，1；
4，1，2，3；
0+1+2+3=6；类型有：
4，1，3，2；
4，2，1，3；
3，2，4，1；
2，4，3，1；
1+1+2+2=6；类型有：
2，4，1，3；
3，1，4，2；
共9种．
故答案为：9．

点评 本题考查排列组合的实际应用，考查计数原理的应用，难度比较大．