如图.设椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左右焦点为F1.F2.上顶点为A.点B和点F2关于F1对称.且AB⊥AF2.A.B.F2三点确定的圆M恰好与直线$x-\sqrt{3}y-3=0$相切．(1)求椭圆的方程C,(2)过F1作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P.Q零点.在x轴上是否存在点N.使得NF1恰为△PNQ的内角平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点为F₁，F₂，上顶点为A，点B和点F₂关于F₁对称，且AB⊥AF₂，A，B，F₂三点确定的圆M恰好与直线$x-\sqrt{3}y-3=0$相切．
（1）求椭圆的方程C；
（2）过F₁作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q零点，在x轴上是否存在点N，使得NF₁恰为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）由题意可知：F₁（-c，0），M的圆心坐标为F₁（-c，0），半径为2c，根据点到直线的距离公式$\frac{丨-c-3丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2c，即可求得c的值，由射影定理可知：b²=BO²=BO•OF₂=2c•c=3，即可求得b²=3，根据椭圆的性质即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）由题意可知设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，由NF₁恰为△PNQ的内角平分线，可知k_NP=-k_MQ，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$，整理求得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=$\frac{-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+\frac{8{k}^{2}-24}{3+4{k}^{2}}}{2-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=-4，即可求得点N的坐标．

解答解：（1）由题意可知：F₁（-c，0），B（-3c，0），M的圆心坐标为F₁（-c，0），半径为2c，
由直线$x-\sqrt{3}y-3=0$与圆M相切，$\frac{丨-c-3丨}{\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2c，解得：c=1，
由AB⊥AF₂，AO⊥BF₁，
由射影定理可知：b²=BO²=BO•OF₂=2c•c=3，即b²=3，
∴a²=b²+c²=4，
椭圆的方程C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）假设存在满足条件的点N（x₀，0），由题意可知：直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
∴3x²+4k²（x+1）²=12，
∴（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵NF₁恰为△PNQ的内角平分线，
∴k_NP=-k_MQ，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$，
∴$\frac{k（{x}_{1}+1）}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-$\frac{k（{x}_{2}+1）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
∴（x₁+1）（x₁-x₀）=-（x₂+1）（x₂-x₀），
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=$\frac{-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+\frac{8{k}^{2}-24}{3+4{k}^{2}}}{2-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$=-4，
∴存在点N的坐标为（-4，0）．

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，韦达定理，斜率公式及射影定理的综合应用，综合性强，考查计算能力，属于中档题．

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