Question

下列命题：
①函数y=tan

x

2

的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；
②函数y=lg（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+

π

4

）k∈Z；
③函数f（x）=|1+sin2x-cos2x|的最小正周期是π
④要得到函数y=sin（

x

2

-

π

4

）的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①中，由正切函数的对称中心，求出函数y=tan

x

2

图象的对称中心，判定①正确；
②中，求出函数y=lg（1+2cos2x）的递减区间，判定②错误；
③中，求出函数f（x）=|1+sin2x-cos2x|的最小正周期，判定③正确；
④中，由函数图象的平移知识，判定④错误．

解答： 解：对于①，∵正切函数的对称中心是（k•

π

2

，0）k∈Z，令

x

2

=k•

π

2

（k∈Z），∴x=kπ（k∈Z），
∴函数y=tan

x

2

的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z，∴①正确；
对于②，∵1+2cos2x＞0，∴cos2x＞-

1

2

，∴-

π

3

+kπ＜x＜

π

3

+kπ（k∈Z）；
∴函数y=lg（1+2cos2x）的递减区间是[kπ，kπ+

π

3

）k∈Z，∴②错误；
对于③，函数f（x）=|1+sin2x-cos2x|=|1+

2

sin（2x-

π

4

）|，
∴f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π，∴③正确；
对于④，将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位，
得y=sin[

1

2

（x-

π

4

）]=sin（

x

2

-

π

8

）的图象，∴④错误．
综上，正确的命题是③．
故答案为：①③．

点评：本题利用命题真假的判定，考查了正切函数的对称中心，余弦函数的单调性，三角函数的周期性以及函数的平移知识，是综合性题目．