Question

14．如图，A、B、C为函数y=log₂x图象上的三点，它们的横坐标为t，t+2，t+4，（其中t≥1），AA₁、BB₁、CC₁与x轴垂直，垂足为A₁、B₁、C₁．
（1）写出当t=2时，A、B二点的坐标；
（2）设△ABC的面积为S，求S与t函数关系式；
（3）判断函数S=f（t）的单调性，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）当当t=2时，根据A、B二点的横坐标分别为：2，4，求得A、B二点的纵坐标，可得A、B二点的坐标．
（2）由题意可先表示三角形ABC的面积S=${S}_{{A}_{1}A{BB}_{1}}$+${S}_{{B}_{1}B{CC}_{1}}$-${S}_{{A}_{1}A{CC}_{1}}$=log₂ $\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}$，t≥1．
（3）根据函数S=f（t）=log₂（1+$\frac{4}{{t}^{2}+4t}$）在[1，+∞）上单调递减，结合a≥1可求得S的最大值．

解答 解：（1）写出当t=2时，A、B二点的横坐标分别为：2，4，故A、B二点的纵坐标分别为1，2，
故A、B二点的坐标分别为（2，1）、（4，2）．
（2）设△ABC的面积为S，则三角形ABC的面积S=${S}_{{A}_{1}A{BB}_{1}}$+${S}_{{B}_{1}B{CC}_{1}}$-${S}_{{A}_{1}A{CC}_{1}}$
=[log₂t+log₂（t+2）]+[log₂+（t+2）+log₂（t+4）]-$\frac{4}{2}$•[log₂t+log₂x（t+4）]
=2log₂（t+2）-[log₂t+log₂x（t+4）]=log₂ $\frac{{（t+2）}^{2}}{t（t+4）}$，t≥1．
（3）∵函数S=f（t）=log₂ $\frac{{t}^{2}+4t+4}{{t}^{2}+4t}$=log₂（1+$\frac{4}{{t}^{2}+4t}$）在[1，+∞）上单调递减，
故当t=1时，函数S=f（t）取得最大值为${log}_{2}\frac{9}{5}$．

点评 本题主要考查了利用分割求解图象的面积，对数运算性质的应用及利用二次函数的性质求解函数的最大值，属于知识的简单综合，属于中档题．