Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，AC=2$\sqrt{3}$，M是AC的中点，则异面直线CB₁与C₁M所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{28}$．

Answer 1

分析 以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CB₁与C₁M所成角的余弦值．

解答 解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，AC=2$\sqrt{3}$，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，BM=$\sqrt{4-3}$=1，
以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
C（-$\sqrt{3}$，0，0），B₁（0，1，2），C₁（-$\sqrt{3}$，0，2），M（0，0，0），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{M{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，2），
设异面直线CB₁与C₁M所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{C{B}_{1}}•\overrightarrow{M{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{C{B}_{1}}|•|\overrightarrow{M{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{8}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{14}}{28}$．
∴异面直线CB₁与C₁M所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{14}}{28}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{14}}{28}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．