Question

11．如图＜1＞：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，如图＜2＞：若G，H分别为D′B，D′E的中点．
（Ⅰ）求证：GH⊥D′A；
（Ⅱ）求三棱锥C-D′BE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明：AD′⊥AE，AD′⊥AC，推出AD′⊥平面ABCD，推出AD′⊥BE，通过证明GH∥BE，推出GH⊥D′A；
（Ⅱ）三棱锥C-D′BE的体积．直接利用棱锥的体积公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=6，CE⊥AD于E点，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$，ED=4，连结BE，GH，在三角形AED′中，
可得ED′²=AE²+AD′²，可得AD′⊥AE，DC=$\sqrt{E{D}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AC=2$\sqrt{2}$，可得AC²+AD′²=CD′²，可得AD′⊥AC，
因为AE∩AC=A，
所以AD′⊥平面ABCD，可得AD′⊥BE，G，H分别为D′B，D′E的中点，可得GH∥BE，
所以GH⊥D′A．
（Ⅱ）三棱锥C-D′BE的体积为V．
则V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AD′$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$×2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中（Ⅰ）的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，（Ⅱ）的关键是判断出棱锥的高和底面面积．