Question

6．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x≤0）}\\{ln（x+1），）（x＞0）}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，则a的取值范围是[-6，0]．

Answer 1

分析 分x＜0，x=0、x＞0时三种情况讨论，注意分离参数a后化为函数最值可求，最后对a范围取交集即可．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x≤0）}\\{ln（x+1），）（x＞0）}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，则当x＜0时，f（x）=-x²+4x≥ax-1，即a≥x+$\frac{1}{x}$-4．
∵-x+$\frac{1}{-x}$≥2，∴x+$\frac{1}{x}$≤-2，∴a≥-6 （当且仅当x=-1时，取等号）．
当x=0时，f（x）=0，ax-1=-1，|f（x）|≥ax-1恒成立．
当x＞0时，|f（x）|≥ax-1，即ln（x+1）≥ax-1，即$\frac{1}{x}$[ln（x+1）+1]≥a，要使它恒成立，a≤0．
故a的取值范围为[-6，0]，
故答案为：[-6，0]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题常常转化为函数最值解决，属于中档题．