Question

19．已知数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}为等比数列，且a₂=16，a₄=96，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（n+2）•{2}^{n}，q=2}\\{（n+2）•（-2）^{n}，q=-2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 设等比数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比为q，由a₂=16，a₄=96，利用等比数列的通项公式可得$\frac{96}{4+2}$=$\frac{16}{2+2}$×q²，解得q，进而得出答案．

解答 解：设等比数列{$\frac{{a}_{n}}{n+2}$}的公比为q，∵a₂=16，a₄=96，
∴$\frac{96}{4+2}$=$\frac{16}{2+2}$×q²，解得q=±2．
∴当q=2时，$\frac{{a}_{n}}{n+2}$=$\frac{16}{2+2}$×2^n-2=2ⁿ，∴a_n=（n+2）•2ⁿ．
同理可得：当q=-2时，a_n=（n+2）•（-2）ⁿ．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（n+2）•{2}^{n}，q=2}\\{（n+2）•（-2）^{n}，q=-2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{（n+2）•{2}^{n}，q=2}\\{（n+2）•（-2）^{n}，q=-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．