Question

如图，在直角梯形SABC中，∠B=∠C=

π

2

，D为边SC上的点，且AD⊥SC，现将△SAD沿AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB，
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）若PD=AD=CD=2，点E满足

BE

=λ

BP

（0≤λ≤1），使得平面EAC与平面PDC所成的锐角的大小为

π

4

？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据已知PA⊥AB，AB⊥AD，PA∩AD=A，依据线面垂直的判定定理推断出AB⊥平面PAD，进而可知AB⊥PD，然后根据PD⊥AD，AB∩AD=A，利用线面垂直的定理可得PD⊥平面ABCD．
（2）以D为原点，

DA

，

DC

，

DP

分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则可得到A，B，C，P及

CB

，

BP

，

CA

的坐标，进而可表示出

CE

，设

n1

=(x，y，z)是平面EAC的一个法向量，推断出

n ⊥ CE n ⊥ CA

，进而利用法向量的定义可推断出

(2-2λ)x-2λy+2λz=0 2x-2y=0

，令x=λ，则y=λ，z=2λ-1，进而表示出

n1

，又根据

n2

=(1，0，0)是平面PDC的一个法向量，最后利用非零向量的夹角计算公式求得λ．

解答： 解：（1）∵PA⊥AB，AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥AD，AB∩AD=A，
∴PD⊥平面ABCD．             
（2）以D为原点，

DA

，

DC

，

DP

分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，

CB

=(2，0，0)，

BP

=(-2，-2，2)，

CA

=(2，-2，0)，
∴

CE

=

CB

+

BE

=

CB

+λ

BP

=(2-2λ，-2λ，2λ)．
设

n1

=(x，y，z)是平面EAC的一个法向量，则

n ⊥ CE n ⊥ CA

，
即

(2-2λ)x-2λy+2λz=0 2x-2y=0

令x=λ，则y=λ，z=2λ-1，
∴

n1

=(λ，λ，2λ-1)．
又

n2

=(1，0，0)是平面PDC的一个法向量，
∴cos

π

4

=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|，即

2

2

=

λ

2λ2+(2λ-1)2

，
解得λ=

1

2

，
∴存在λ=

1

2

使得平面EAC与平面PDC所成的锐角的大小是

π

4

．

点评：本题主要考查了线面垂直的定义和判定定理的应用，平面向量的运算，法向量的定义等知识．考查了学生对基础知识的综合运用．