Question

若不等式组

y-x≥0 y-kx-1≤0 x≥0

表示的平面区域的面积等于抛物线y=-x²+1与x轴围成的封闭区域的面积，则k=

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,定积分在求面积中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：根据积分的几何意义求出封闭区域的面积，作出不等式组对应的平面区域，利用对应的图形，建立面积关系即可得到结论．

解答： 解：由y=-x²+1=0，解得-1≤x≤1，由积分的几何意义可知抛物线y=-x²+1与x轴围成的封闭区域的面积S=

∫

1 -1

(-x2+1)dx=（-

1

3

x3+x）|

1 -1

=

4

3

，
即不等式组对应的区域的面积S=

4

3

，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由

y-x=0 y-kx-1=0

，解得

x= 1 1-k y= 1 1-k

，
则S=

1

2

×

1

1-k

=

4

3

，
解得k=

5

8

，
故答案为：

5

8

点评：本题主要考查线性规划的应用，以及积分的应用，考查学生的计算能力．